-
В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А
и катетами АВ = 3; АС = 5 вписан квадрат ADEF.
а) Докажите, что треугольники BDE и EFC подобны.
б) Найдите отношение площади треугольника EFC к площади квадрата ADEF.
2. Вневписанная в треугольник АВС окружность касается его боковой стороны и продолжения основания АС.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте ВН треугольника АВС.
б) Найдите площадь треугольника АВС, если радиус окружности равен 8, а АС·АВ = 120.
3. Две окружности касаются внешним образом в точке L. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника ALB, если известно, что радиусы окружностей равны 8 и 2.
4. В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD= r.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках M и N. Найдите площадь треугольника BMN, если известно, что r= 1 и CD =3.
5. Дан треугольник АВС. Серединный перпендикуляр к стороне АВ пересекается с биссектрисой угла ВАС в точке К, лежащей на стороне ВС.
а) Докажите, что АС2 =ВС·СК.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АКС, если sinВ = 0,8 и сторона АС= 30.
6. Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK:KC=1:2.
а) Докажите, что ∠BAC=30
б) Пусть прямые MK и BC пересекается в точке P, а прямые AP и BK - в точке Q. Найдите KQ, если BC=3√2
7. Через вершины В и С треугольника АВС проходит окружность, пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках C1 и B1.
а) Докажите, что треугольник АВС подобен треугольнику AB1C1.
б) Вычислите радиус данной окружности, если угол A=150°, BC=6 и площадь треугольника AB1C1 в 3 раза меньше площади четырехугольника BCB1C1.
8. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC (с основанием AC), касается его боковых сторон в точках M и N. Точка M делит боковую сторону на отрезки 18 и 12, считая от основания треугольника ABC.
а) Докажите, что треугольники MBN и ABC подобны.
б) Найдите отношение площадей треугольника MBN и трапеции AMNC.
9. На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отложен отрезок AD, равный стороне АВ. Прямая, проходящая через точку А параллельно BD, пересекает сторону ВС в точке М.
а) Докажите, что AM — биссектриса угла ВАС.
б) Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника АВС равна 200 и известно отношение
АС : АВ = 2:3.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1.
б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ‹А=45 ,В1С1=6 и площадь треугольника АВ1С1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСB1C1.
11. В трапеции ABCD основания AD и BC. Диагональ AC разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и AB.
а) Докажите, что луч DB – биссектриса угла ADC.
б) Найдите AB, если известны длины диагоналей трапеции: BD=16 и AC=10.
12. Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP: PB = CQ:QB = CW :WD =1: 4 , радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ =16, QW =12 , угол PWQ острый.
а) Докажите, что треугольник PQW прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.
13. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD .
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC =12 и BD = 6,5.
14. Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1.
б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ‹А=30° , В1С1=5 и площадь треугольника АВ1С1 в пять раз меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.
15. В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.
а) Докажите, что ВМ = СМ.
б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен 85°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.
16. В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC.
a) Докажите, что высота BF трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых в два раза больше другого
b) Найдите расстояние от вершины B до середины диагонали AC, если AD=72, AС=50
17. Дан треугольник ABC. Срединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC.
а)Докажите, что 𝐴𝐶2=𝐵𝐶∙𝐶𝐾.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если sinB=0.6 и сторона AC=24.
18. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Из точки A на сторону CD опустили перпендикуляр AH. На стороне AB отмечена точка E так, что прямые CD и CE перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые BH и ED параллельны.
б) Найдите отношение BH к ED, если угол BCD=120
19.
Параллелограмм АВСD и окружность расположены так, что сторона АВ касается окружности, СD является хордой, а стороны DA и ВС пересекают окружность в точка Р и Q соответственно.
а) Докажите, что около четырёхугольника АВQP можно описать окружность.
б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, что АР=а, ВС=b и ВQ=с.
20. Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠ BB1C1= ∠BAH.
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если B1C1 =4√15и∠BAC=30°.
21. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD.
а) Докажите, что AB:BC=AP:PD.
б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, а BC = 6√2.
22. На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана такая точка M, что AM=MC.
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB = 8, BC =20, ∠BAD =60°.
Услуги репетитора по математике ЕГЭ (профильный уровень) - Ольга Иванникова (Порваткина).
Телефон: +7 (969) 088-27-29
E-mail: info@repetitormath.com
Преподаватель математики. Эксперт ЕГЭ. Психолог.