-
В кубе ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 5.
а) Постройте линейный угол двугранного угла между плоскостями ABD и CAD1.
б) Найдите тангенс этого угла.
2. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1
а) Опустите перпендикуляр из точки D на плоскость CAD1.
б) Найдите его длину.
4. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1.
а) Постройте угол между прямой АС1 и плоскостью ВСС1.
б) Найдите косинус этого угла.
5. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, стороны основания которой равны 2, а боковые ребра 3, найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1.
6. Высота прямой призмы АВСА1В1С1 равна 4.
Основание призмы — треугольник АВС, в котором АВ = ВС, АС = 6, tgА = 0,5. Найдите тангенс угла между прямой А1В и плоскостью АСС1.
7. Высота прямой призмы АВСА1В1С1 равна 4.
Основание призмы — треугольник АВС, в котором АВ = ВС, АС = 6, tgА = 0,5. Найдите тангенс угла между прямой А1В и плоскостью АСС1.
8. В шаре проведено два сечения параллельными плоскостями, при–чем одно из них проходит через центр шара. Расстояние между плоскостями равно 3, а площадь меньшего сечения равна 16π. Найдите площадь поверхности шара.
9. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF со стороной основания 2 и боковым ребром 3 точка M делит ребро SD в отношении 1:2 (считая от вершины S).
а) Постройте угол между прямой BM и плоскостью AEC.
б) Найдите величину этого угла.
10. В правильной шестиугольной призме AB...E1F1 со стороной основания 4 и боковым ребром 2
а) Опустите перпендикуляр из точки С на прямую E1F1.
б) Найдите его длину.
11. В основании прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 лежит равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Точка К — середина ребра А1В1, а точка М делит ребро АС в отношении AM : МС = 1:3.
а) Докажите, что КМ перпендикулярно АС.
б) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью АВВ1, если АВ = 10, АС = 12 и АА1 = 7.
12. На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 1, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 3, а точка T на ребре B1C1 так, что B1:TC1=1:2. Известно, что AB = 4, AD = 3, AA1 = 4.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
13. SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с основанием ABCD. Из точки В опущен перпендикуляр ВН на плоскость SAD.
а) Докажите, что угол AHC = 90°.
б) Найдите объём пирамиды, если НА = 3 и НС = 5.
14. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 7 и диагональю BD = 10. Все боковые рёбра пирамиды равны 7. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 3.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB .
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.
15. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, у которой сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC .
16. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, у которой сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC .
17. В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT :TD = 2 :1. Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
18. В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 3 и радиусом основания 8 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM , проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объём пирамиды CABNM .
19. На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА = 5:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.
20. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, AB = BC = AC = 14.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA = DN:NC = 6:1. Найдите площадь сечения MNB.
21. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13.Точки M и N - середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость a содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость a делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью a.
22. SABCD - правильная четырёхугольная пирамида с основанием ABCD. Из точки B опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.
a) Докажите, что угол AHC=90∘.
б) Найдите объём пирамиды, если HA=1 и HC=5
23. Основанием правильной треугольной пирамиды MABC служит правильный треугольник ABC со стороной 6. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и середины ребер AC и BC проведена плоскость альфа.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью альфа является равносторонним треугольником
б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости альфа
24. В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 сторона основания 𝐴𝐵=7√3, а боковое ребро 𝐴𝐴1=8.
а) Докажите, что плоскость 𝐵𝐶𝐴1 перпендикулярна плоскости, проходящей через ребро 𝐴𝐴1 и середину ребра 𝐵1𝐶1
б) Найдите тангенс угла между плоскостями 𝐵𝐶𝐴1 и 𝐵𝐵1𝐶1
25. Дан куб 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1:
а) Докажите, что прямая 𝐵1𝐷 перпендикулярна плоскости 𝐴1𝐵𝐶1
б) Найдите угол между плоскостями 𝐴𝐵1𝐶1 и 𝐴1𝐵1𝐶
(!)Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости
(!)Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях
26. Ребро SA пирамиды SABCD перпендикулярно плоскости основания ABC.
a) Докажите, что высота пирамиды, проведенная из точки A, делится плоскостью, проходящей через середины ребер AB, AC и SA, пополам.
b) Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если 𝑆𝐴=√5, AB=AC=5, 𝐵𝐶=2√5.
27. На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки M и N соответственно, причем АМ:МВ=CN:NB=1:2. Точки P и Q – середины рёбер DA и DC соответственно
а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду
28. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания – точки В1 и С1, причем ВВ1 – образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1, если АВ=6, ВВ1=15, В1С1=8
29.Радиус основания конуса Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длина которых относится как 1:5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.
30. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 2√14, SB = 6√2, SD = √65.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды SABCD. б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
31. Точка M — середина ребра BC параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что плоскость AMB1 параллельна прямой A1C.
б) Найдите расстояние между прямой AC1 и плоскостью AMB1, если параллелепипед прямоугольный, AB =12, AD =12 и 1 AA1 = 6.
32. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через середину M диагонали AC1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB=10, BC=6, AA1=8.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку D1.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A1B1.
33. Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Ребро SА является высотой пирамиды. Точки Е и F лежат на рёбрах АС и BS соответственно так, что SF: FB=AE:EC=2:3.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через точки E и F перпендикулярно прямой АС, является прямоугольником.
б) Точки Н и М — точки пересечения плоскости α с прямыми АВ и CS соответственно. Найдите объём многогранника BCMEHF, если объём пирамиды SABC равен 125.
34. В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK=1 KC=3.
Услуги репетитора по математике ЕГЭ (профильный уровень) - Ольга Иванникова (Порваткина).
Телефон: +7 (969) 088-27-29
E-mail: info@repetitormath.com
Преподаватель математики. Эксперт ЕГЭ. Психолог.