1. В кубе ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 5.

    а) Постройте линейный угол двугранного угла между плоскостями ABD и CAD1.

    б) Найдите тангенс этого угла.

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

2. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1

а) Опустите перпендикуляр из точки D на плоскость CAD1.

б) Найдите его длину.

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

3. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми AD и CA1.

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

4. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1.

а) Постройте угол между прямой АС1 и плоскостью ВСС1.

б) Найдите косинус этого угла.

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

5. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, стороны основания которой равны 2, а боковые ребра 3, найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1.

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

6. Высота прямой призмы АВСА1В1С1 равна 4.

Основание призмы — треугольник АВС, в котором АВ = ВС, АС = 6, tgА = 0,5. Найдите тангенс угла между прямой А1В и плоскостью АСС1.

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

7. Высота прямой призмы АВСА1В1С1 равна 4.

Основание призмы — треугольник АВС, в котором АВ = ВС, АС = 6, tgА = 0,5. Найдите тангенс угла между прямой А1В и плоскостью АСС1.

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

8. В шаре проведено два сечения параллельными плоскостями, при–чем одно из них проходит через центр шара. Расстояние между плоскостями равно 3, а площадь меньшего сечения равна 16π. Найдите площадь поверхности шара.

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

9. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF со стороной основания 2 и боковым ребром 3 точка M делит ребро SD в отношении 1:2 (считая от вершины S).

а) Постройте угол между прямой BM и плоскостью AEC.

б) Найдите величину этого угла.

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

10. В правильной шестиугольной призме AB...E1F1 со стороной основания 4 и боковым ребром 2

а) Опустите перпендикуляр из точки С на прямую E1F1.

б) Найдите его длину.

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

11. В основании прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 лежит равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Точка К — середина ребра А1В1, а точка М делит ребро АС в отношении AM : МС = 1:3.

а) Докажите, что КМ перпендикулярно АС.

б) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью АВВ1, если АВ = 10, АС = 12 и АА1 = 7.

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

12. На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 1, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 3, а точка T на  ребре B1C1 так, что B1:TC1=1:2. Известно, что AB = 4, AD = 3, AA1 = 4.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.

б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)
Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

13. SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с основанием ABCD. Из точки В опущен перпендикуляр ВН на плоскость SAD.

а) Докажите, что угол AHC = 90°.

б) Найдите объём пирамиды, если НА = 3 и НС = 5.

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)
Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

14. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 7 и диагональю BD = 10. Все боковые рёбра пирамиды равны 7. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF =  BE = 3.

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB .

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)
Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

15. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1,  у которой сторона основания равна 2,  а боковое ребро равно 3.  Через точки A, С1  и середину T ребра А1В1  проведена плоскость.

 а)  Докажите,  что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

 б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC .

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)
Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

16. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1,  у которой сторона основания равна 2,  а боковое ребро равно 3.  Через точки A, С1  и середину T ребра А1В1  проведена плоскость.

 а)  Докажите,  что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

 б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC .

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

17. В основании правильной треугольной пирамиды ABCD  лежит треугольник ABC  со стороной,  равной 6.  Боковое ребро пирамиды равно 5.  На ребре AD отмечена точка T  так,  что AT :TD = 2 :1.  Через точку Т  параллельно прямым AC  и BD  проведена плоскость.

 а)  Докажите,  что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

 б)  Найдите площадь сечения.

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)
Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

18. В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 3  и радиусом основания 8  проведена хорда AB,  равная радиусу основания,  а в другом его основании проведён диаметр CD,  перпендикулярный AB.  Построено сечение ABNM ,  проходящее через прямую AB  перпендикулярно прямой CD  так,  что точка C  и центр основания цилиндра,  в котором проведён диаметр CD,  лежат с одной стороны от сечения.

 а)  Докажите,  что диагонали этого сечения равны между собой.

 б)  Найдите объём пирамиды CABNM .

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

19. На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА = 5:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)
Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

20. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, AB = BC = AC = 14.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA = DN:NC = 6:1. Найдите площадь сечения MNB.

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)
Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

21. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13.Точки M и N - середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость a содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость a делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью a.

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

22. SABCD - правильная четырёхугольная пирамида с основанием ABCD. Из точки B опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.

a) Докажите, что угол AHC=90∘.

б) Найдите объём пирамиды, если HA=1 и HC=5

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)
Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

23. Основанием правильной треугольной пирамиды MABC служит правильный треугольник ABC со стороной 6. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и середины ребер AC и BC проведена плоскость альфа.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью альфа является равносторонним треугольником

б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости альфа

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)
Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

24. В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 сторона основания 𝐴𝐵=7√3, а боковое ребро 𝐴𝐴1=8.

а) Докажите, что плоскость 𝐵𝐶𝐴1 перпендикулярна плоскости, проходящей через ребро 𝐴𝐴1 и середину ребра 𝐵1𝐶1

б) Найдите тангенс угла между плоскостями 𝐵𝐶𝐴1 и 𝐵𝐵1𝐶1

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

24. В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 сторона основания 𝐴𝐵=7√3, а боковое ребро 𝐴𝐴1=8.

а) Докажите, что плоскость 𝐵𝐶𝐴1 перпендикулярна плоскости, проходящей через ребро 𝐴𝐴1 и середину ребра 𝐵1𝐶1

б) Найдите тангенс угла между плоскостями 𝐵𝐶𝐴1 и 𝐵𝐵1𝐶1

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

25. Дан куб 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1:

а) Докажите, что прямая 𝐵1𝐷 перпендикулярна плоскости 𝐴1𝐵𝐶1

б) Найдите угол между плоскостями 𝐴𝐵1𝐶1 и 𝐴1𝐵1𝐶

(!)Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости

(!)Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

26. Ребро SA пирамиды SABCD перпендикулярно плоскости основания ABC.

a) Докажите, что высота пирамиды, проведенная из точки A, делится плоскостью, проходящей через середины ребер AB, AC и SA, пополам.

b) Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если 𝑆𝐴=√5, AB=AC=5, 𝐵𝐶=2√5.

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)
Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

27. На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки M и N соответственно, причем АМ:МВ=CN:NB=1:2. Точки P и Q – середины рёбер DA и DC соответственно

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)
Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

28. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания – точки В1 и С1, причем ВВ1 – образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ABC1 прямой.

б) Найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1, если АВ=6, ВВ1=15, В1С1=8

Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)
Частный преподаватель математики

Услуги репетитора по математике ЕГЭ (профильный уровень) - Ольга Иванникова (Порваткина).

Телефон: +7 (969) 088-27-29

E-mail: info@repetitormath.com

Преподаватель математики. Эксперт ЕГЭ. Психолог.

close
Задание №14 ЕГЭ (профильный уровень)

Хочешь первым узнавать

о новостях и новых разборах задач?


Заполняй!

Яндекс.Метрика