Задание №3 из ЕГЭ по математике профильный уровень с решением (2024)

Объём прямоугольного параллелепипеда равна 108. чему будет равен объём параллелепипеда,если каждое его ребро уменьшить в три раза?

2. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 0,6.

3. Площадь поверхности куба равна 242. Найдите его диагональ.

4. Уровень жидкости в цилиндрическом сосуде достигает 180 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в см.

5. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в 5 раз?

6. Во сколько раз уменьшится площадь поверхности правильной треугольной пирамиды, если все её ребра уменьшить в 6 раз?

7. Объём прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равен 16 см2. У второго прямоугольного параллелепипеда, в основании которого тоже лежит квадрат, высота в четыре раза меньше, а ребро основания в два раза больше, чем у первого. Найдите объем второго прямоугольного параллелепипеда(в кубических сантиметрах).

8. Во сколько раз увеличится диагональ куба, если его ребра увеличить в 10 раз?

9. Объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 666. Найдите объём пирамиды D1ACD.

10. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна √3, боковое ребро равно 2√3. Найдите объем пирамиды MABC, если точка M - середина ребра AA1

11. Высота конуса равна 12, а длина образующей — 15. Найдите диаметр основания конуса.

12. В куб вписан шар, площадь поверхности которого равна 4π. Найдите объём куба

13. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если стороны ее основания равны 6, а объем равен 3√3.

14. Конус вписан в шар. Объём шара равен 14. Найдите объём конуса, если известно, что радиус основания конуса равен радиусу шара.

15. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоты. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна 14√2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

16. Объем правильной треугольной призмы равен 80. Найдите объем правильной треугольной призмы, сторона основания которой в 4 раза меньше стороны основания данной призмы, а высота в 4 раза больше высоты данной призмы.

17. Бетонный шар весит 0,5 тонн. Сколько тонн будет весить шар вдвое большего радиуса, сделанный из такого же бетона?

18. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая втрое шире, Найдите отношение объема второй кружки к объему первой .

19. Объем параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 равен 3. Найдите объем треугольной пирамиды 𝐴𝐷1𝐶𝐵1.

20. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если все его ребра увеличить в 7 раз?

21. Высота конуса равна 30, а длина образующей – 34. Найдите диаметр основания конуса.

22. Ребра правильного тетраэдра равны 14. Найдите площадь сечения, проходящего через середины его ребер.

23.Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24 pi, а его высота равна 4. Найдите диаметр основания цилиндра.

24. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1⁄4 высоты. Объем жидкости равен 5 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

25. В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ выразите в см.

26. Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

27.В правильный треугольной призме АВСА1В1С1 со стороной основания 3√3 найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС.

28. Объём параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 равен 6. Найдите объём треугольной пирамиды АD1CB1.

29. Дачный участок имеет форму квадрата, стороны которого равны 30 м. Размеры дома, расположенного на участке и имеющего форму прямоугольника, — 8 м × 5 м. Найдите площадь оставшейся части участка. Ответ дайте в квадратных метрах.

30.В сосуд, имеющий форму конуса, налито 10 мл жидкости, при этом уровень достигает 1/3 высоты сосуда. Сколько миллилитров нужно долить, чтобы уровень жидкости поднялся до 2/3 высоты сосуда?

31.

Стороны основания треугольной пирамиды равны 15, 16 и 17. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углами 45°. Найдите объем пирамиды.

32.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

33.

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 12 и 16, боковое ребро призмы равно 4. Найдите объем призмы.

34.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О - центр основания, S - вершина, SA=10, BD=16. Найдите длину отрезка SO.

35. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 3 и 7, боковое ребро призмы равно 6. Найдите объём призмы.

36. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, A₁, B₁, D₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D1, у которого AB = 2, AD =10, AA₁ = 9.